1、◆由于a?=0所以M??1M?a?=0；〖17字〗

2、韓信點兵泛指”物不知數(shù)“此類一次同余方程組求解問題。南宋著名數(shù)學家秦九韶對《孫子算經》中的算法進行了深入研究，將其擴展為『大衍總數(shù)術』，徹底解決了韓信點兵問題，這就是《初等數(shù)論》中的中國剩余定理（也稱孫子定理）：〖91字〗

3、有一個正整數(shù)x，知x除以3余2、除以5余數(shù)3、除以7余數(shù)2，求x的最小值。〖32字〗

4、懸壺高沖（沖茶）〖6字〗

5、最終答案：框里最少有441個鴨蛋。〖15字〗

6、x=M??1M?a?+M??1M?a?+M??1M?a?=2016+0+945+0=2961〖38字〗

7、有一筐鴨蛋，1個1個數(shù)，正好數(shù)完；2個2個數(shù)，還剩1個；3個3個數(shù)，正好數(shù)完；4個4個數(shù)，還剩1個；5個5個數(shù)，還剩1個；6個6個數(shù)，還剩3個；7個7個數(shù)，正好數(shù)完；8個8個數(shù)，還剩1個；9個9個數(shù)，正好數(shù)完。請問：框里最少有多少個鴨蛋？〖98字〗

8、品啜甘霖（喝茶）〖6字〗

9、今有物，不知其數(shù)。三、三數(shù)之，剩二；五、五數(shù)之，剩三；七、七數(shù)之，剩二。問物幾何？〖29字〗

10、鑒嘗湯色（看茶）〖6字〗

11、m?=q?r+r?,8=2×3+2,c?=q?=2;〖17字〗

12、韓信點兵多多益善，就是韓信帶的兵越多越好。〖19字〗

13、七子團圓正月半，〖7字〗

14、當然，中國剩余定理要求m?,m?,...,m_n必須兩兩互素，對于那些不滿足這個條件的一次同余方程組可以轉換為和其同解的滿足這個條件的一次同余方程組。下面舉例說明：〖71字〗

15、關于功夫茶文化，有這樣幾句話，其中兩句是：“關公巡城，韓信點兵”，它是整個表演儀式中極為精彩的部分，妙用歷史典故，形容整個飲茶的過程。〖57字〗

16、比較(5)得到：〖5字〗

18、當k為奇數(shù)時，則k+1是偶數(shù)，這就要算到(6)，對(6)稍作變形：〖24字〗

19、當k為偶數(shù)時有：〖7字〗

20、◆M?=5×7×9=315〖11字〗

21、M?=qm?+r,504=100×5+4,c?=1;〖18字〗

22、這就說明(3')的確是(3)的解。〖11字〗

23、于是，令，〖3字〗

24、秦九韶分別稱M、M?、M??1為衍母、衍數(shù)、乘率，這里的關鍵是求乘率M??1，方法如下：〖37字〗

25、前面再加上(4)，整個過程就是歐幾里得輾轉相除法，因此r_k為M?和m?的最大公約數(shù)，而m?,m?,...,m_n是兩兩互素，于是有：r_k=(M?,m?)=1，這樣就證明了最后總可以終止于1的正確性。〖78字〗

26、進而，有如下算法：〖7字〗

27、三人同行七十稀，〖7字〗

28、春風拂面（刮沫）〖6字〗

29、[x=128>105]：x=x-105=128-105=23〖20字〗

30、并重新令：〖4字〗

31、由于x?≡1(mod3)，故2x?≡2(mod3)，于是得到2x?=140，它滿足：除以3余2并且被5和7整除。〖46字〗

32、八個順序分別是：〖7字〗

33、韓信點兵多多益善！帥才！韓信在劉邦面前暴露了！〖20字〗

34、到r_k=1終止。如果向下進行一步就是：〖16字〗

35、x=x'=233〖5字〗

36、關公巡城（倒茶）〖6字〗

37、◆M?=7×8×9=504〖11字〗

38、◆由于a?=0所以M??1M?a?=0；〖17字〗

39、注：正半月就是十五天，除是除去（減去）之意。〖17字〗

40、令，r是M?除以m?的余數(shù)，即，〖13字〗

41、注：這里只是給出了定理的驗證，并沒有嚴格證明同余意義下的唯一性。證明中國剩余定理，有多種方法大家有興趣可以參考《初等數(shù)論》。〖55字〗

42、除百零五便得知。〖7字〗

43、當n=1時x?=35，35mod3=2不滿足②舍棄；〖21字〗

44、中國剩余定理，在《抽象代數(shù)》中還有另外的形式，不過這就扯遠了，就此打住。〖30字〗

45、答曰：二十三。〖5字〗

46、x=x'(mod105)〖8字〗

47、x?被5和7整除，就意味著被5×7=35整除，即，35|x?，于是，令x?=35n（n≥1）：〖36字〗

48、數(shù)學大神歐拉和高斯對于一般一次同余式進行了詳細研究，獨立的得到了中國剩余定理，后來證實與秦九韶『大衍求一術』相同，于是才命名該定理為：中國剩余定理。〖67字〗

49、五樹梅花開一枝，〖7字〗

50、漢高祖劉邦曾問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼說：“你頂多能帶十萬兵吧！”漢高祖心中有三分不悅，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韓信傲氣十足地說：“我呀，當然是多多益善啰！”〖76字〗

51、M??1=4，M??1M?a?=4×504×1=2016；〖24字〗

52、則(8')和(8)等價。由于5,7,9,8兩兩互素，符合中國剩余定理要求，于是解：〖29字〗

53、一個數(shù)字必然被1整除，因此①沒有意義，刪除；一個數(shù)字被9整除，必然會被3整除，因此保留⑨刪除③；一個數(shù)字被8除余1，則可以表示為8x+1，進而有2(4x)+1，4(2x)+1，于是x一定可以被2和4整除，因此保留⑧刪除②和④；目前已經保證了被2除余1，可表示為2x+1，也保持了被3整除，于是有3(2x+1)=6x+1，這說明目前已經保持了被6除余3，因此⑥可以被刪除；最后剩下⑤和⑦保留。得到：〖165字〗

54、[x=233>105]：x=x-105=233-105=128〖21字〗

55、題目翻譯成現(xiàn)今的數(shù)學語言如下：〖14字〗

56、然后，讓m?和r輾轉相除，得到：〖13字〗

57、（由于本人數(shù)學水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師批評指正！）〖26字〗

58、接著，定義兩個數(shù)列：〖8字〗

59、漢高祖劉邦曾問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼說：“你頂多能帶十萬兵吧！”漢高祖心中有三分不悅，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韓信傲氣十足地說：“我呀，當然是多多益善啰！”劉邦心中又添了三分不高興，勉強說：“將軍如此大才，我很佩服。現(xiàn)在，我有一個小小的問題向將軍請教，憑將軍的大才，答起來一定不費吹灰之力的。”韓信滿不在乎地說：“可以可以。”劉邦狡黠地一笑，傳令叫來一小隊士兵隔墻站隊，劉邦發(fā)令：“每三人站成一排。”隊站好后，小隊長進來報告：“最后一排只有二人。”“劉邦又傳令：“每五人站成一排。”小隊長報告：“最后一排只有三人。”劉邦再傳令：“每七人站成一排。”小隊長報告：“最后一排只有二人。”劉邦轉臉問韓信：“敢問將軍，這隊士兵有多少人？”韓信脫口而出：“二十三人。”劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找個岔子把他殺掉，免生后患。”一面則佯裝笑臉夸了幾句，并問：“你是怎樣算的？”韓信說：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經》，這孫子乃鬼谷子的弟子，算經中載有此題之算法，口訣是：三人同行七十稀，五樹梅花開一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知。”劉邦出的這道題，可用現(xiàn)代語言這樣表述：“一個正整數(shù)，被3除時余2，被5除時余3，被7除時余2，如果這數(shù)不超過100，求這個數(shù)。”《孫子算經》中給出這類問題的解法：“三三數(shù)之剩二，則置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十；五五數(shù)之剩一，則置二十一；七七數(shù)之剩一，則置十五，一百六以上，以一百五減之，即得。”用現(xiàn)代語言說明這個解法就是：首先找出能被5與7整除而被3除余1的數(shù)70，被3與7整除而被5除余1的數(shù)21，被3與5整除而被7除余1的數(shù)15。所求數(shù)被3除余2，則取數(shù)70×2＝140，140是被5與7整除而被3除余2的數(shù)。所求數(shù)被5除余3，則取數(shù)21×3＝63，63是被3與7整除而被5除余3的數(shù)。所求數(shù)被7除余2，則取數(shù)15×2=30，30是被3與5整除而被7除余2的數(shù)。又，140＋63＋30=233，由于63與30都能被3整除，故233與140這兩數(shù)被3除的余數(shù)相同，都是余2，同理233與63這兩數(shù)被5除的余數(shù)相同，都是3，233與30被7除的余數(shù)相同，都是2。所以233是滿足題目要求的一個數(shù)。而3、5、7的最小公倍數(shù)是105，故233加減105的整數(shù)倍后被3、5、7除的余數(shù)不會變，從而所得的數(shù)都能滿足題目的要求。由于所求僅是一小隊士兵的人數(shù)，這意味著人數(shù)不超過100，所以用233減去105的2倍得23即是所求。這個算法在我國有許多名稱，如“韓信點兵”，“鬼谷算”，“隔墻算”，“剪管術”，“神奇妙算”等等，題目與解法都載于我國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經》中。一般認為這是三國或晉時的著作，比劉邦生活的年代要晚近五百年，算法口訣詩則載于明朝程大位的《算法統(tǒng)宗》，詩中數(shù)字隱含的口訣前面已經解釋了。宋朝的數(shù)學家秦九韶把這個問題推廣，并把解法稱之為“大衍求一術”，這個解法傳到西方后，被稱為“孫子定理”或“中國剩余定理”。而韓信，則終于被劉邦的妻子呂后誅殺于未央宮。請你試一試，用剛才的方法解下面這題：一個數(shù)在200與400之間，它被3除余2，被7除余3，被8除余5，求該數(shù)。（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得該數(shù)為269。）什么叫做“韓信點兵”？韓信點兵是一個有趣的猜數(shù)游戲。如果你隨便拿一把蠶豆（數(shù)目約在100粒左右），先3粒3粒地數(shù)，直到不滿3粒時，把余數(shù)記下來；第二次再5粒5粒地數(shù)，最后把余數(shù)記下來；第三次是7粒一數(shù)，把余數(shù)記下來。然后根據(jù)每次的余數(shù)，就可以知道你原來拿了多少粒蠶豆了。不信的話，你還可以實地試驗一下。例如，假如3粒一數(shù)余1粒，5粒一數(shù)余2粒，7粒一數(shù)余2粒，那么，原有蠶豆有多少粒呢？這類題目看起來是很難計算的，可是我國有時候卻流傳著一種算法，綜的名稱也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墻算”；楊輝叫它“剪管術”；而比較通行的名稱是“韓信點兵”。最初記述這類算法的是一本名叫《孫子算經》的書，后來在宋朝經過數(shù)學家秦九韶的推廣，又發(fā)現(xiàn)了一種算法，叫做“大衍求一術”。這在數(shù)學史上是極有名的問題，外國人一般把它稱為“中國剩余定理”。至于它的算法，在《孫子算經》上就已經有了說明，而且后來還流傳著這么一道歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。這就是韓信點兵的計算方法，它的意思是：凡是用3個一數(shù)剩下的余數(shù)，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數(shù)，而又是以3去除余1的數(shù)）；5個一數(shù)剩下的余數(shù)，將它用21去乘（因為21是3與7的倍數(shù)，又是以5去除余1的數(shù)）；7個一數(shù)剩下的余數(shù)，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數(shù)，又是以7去除余1的數(shù)），將這些數(shù)加起來，若超過105，就減掉105，如果剩下來的數(shù)目還是比105大，就再減去105，直到得數(shù)比105小為止。這樣，所得的數(shù)就是原來的數(shù)了。根據(jù)這個道理，你可以很容易地把前面的五個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37因此，你可以知道，原來這一堆蠶豆有37粒。1900年，德國大數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特歸納了當時世界上尚未解決的最困難的23個難題。后來，其中的第十問題在70年代被解決了，這是近代數(shù)學的五個重大成就。據(jù)證明人說，在解決問題的過程中，他是受到了“中國剩余定理”的啟發(fā)的。〖1955字〗

60、這樣我們就將輾轉相除又延長了一步到k+1，這時k+1是偶數(shù)，則同理上面情況可得到：〖36字〗

61、◆M=m?m?m?m?=5×7×8×9=2520〖21字〗

62、尋中最小正整數(shù)x?，滿足：x?被5和7整除并且除以3余1，即，5|x?,7|x?并且x?mod3=1②〖43字〗

63、x=2×70+3×21+2×15-2×(3×5×7)=23〖22字〗

64、顯然1,2,3,4,5,6,7,8,9并不兩兩互素，因此需要簡化：〖23字〗

65、白鶴沐浴（洗杯）〖6字〗

66、具體過程如下：〖6字〗

67、韓信點兵問題最早出自《孫子算經》。《孫子算經》是中國古代非常重要的數(shù)學著作，因數(shù)學家孫子貢獻最大而得名（關于孫子的資料不可考），大約成書于東晉十六國時期，現(xiàn)存最早為北宋刻本，全書分三卷：《卷上》、《卷中》、《卷下》，主要講述度量規(guī)定和算籌運算以及基于它們的數(shù)學應為問題，韓信點兵為《卷下》第二十六題”物不知數(shù)“，原文如下：〖133字〗

68、術曰：“三、三數(shù)之，剩二”，置一百四十；“五、五數(shù)之，剩三”，置六十三；“七、七數(shù)之，剩二”，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數(shù)之，剩一，則置七十；五，五數(shù)之，剩一，則置二十一；七、七數(shù)之，剩一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。〖94字〗

69、將整個求解過程寫成算式就是：〖13字〗

70、M??1=3，M??1M?a?=3×315×1=945；〖23字〗

71、五樹梅花廿一枝，〖7字〗

72、令x=x'；〖3字〗

73、這等價于求解《初等數(shù)論》中的一次同余方程組：〖19字〗

74、[x=23105（原文為106=x?+x?+x?）則令x=x-105，否則x為最終答案；〖33字〗

75、r=q?r?+r?,3=1×2+1,c?=q?c?+c?=1×2+1=3；(r?=1，下標2是偶數(shù)，得到結果)〖38字〗

76、據(jù)說,古代楚漢時期,為保守軍事秘密,韓信在統(tǒng)計兵員時,讓各部隊只報三三數(shù)之余幾,五五數(shù)之余幾,七七數(shù)之余幾,只報余數(shù)不報總數(shù),韓信自然就會算出總數(shù).例如:[1]甲報其部隊傷亡人數(shù)為:三三數(shù)之余一,五五數(shù)之余四,七七數(shù)之余五;[2]乙報其部現(xiàn)有人數(shù)是:三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,七七數(shù)之不余;[3]丙報三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余四,七七數(shù)之余六.韓信能立即算出甲乙丙三數(shù)分別是19,98,104.這個是隔山點兵的故事你說的順口溜是這個么？〖187字〗

77、將上面的結果相加得到：x’=2x?+3x?+2x?=140+63+30=233，則容易驗證x‘是同余方程組(1)的一個解，但是x’不是最小整數(shù)解x。很容易可以發(fā)現(xiàn)x'減去一個同時被3、5和7整除并且不大于x'的整數(shù)，結果依然是(1)的解，由于，同時3、5和7整除，就意味著被3×5×7=105整除，于是得出：〖125字〗

78、烏龍入宮（落茶）〖6字〗

79、七子團圓正半月，〖7字〗

80、驗證：易知，〖4字〗

81、韓信點兵（點茶）〖6字〗

82、這樣就得到了最終答案：x=23。〖13字〗

83、x>M,x=x-M=2961-2520=441〖16字〗

84、韓信點兵〖4字〗

85、求得滿足：可被3和5整除并且除以7余1的最小正整數(shù)x?=15，從而得到，同樣可被3和5整除但除以7余2的2x?=30；〖53字〗

86、M?=qm?+r,315=39×8+3,c?=1;〖17字〗

87、韓信暗點兵，韓信不是一、二、三、點數(shù)，而是，讓隊伍列隊三人同行七十夕,五數(shù)梅花二十一,七子團圓正半月,去百零五便得知〖49字〗

88、三人同行70稀，五馬破曹21，七子團圓正月半，105便可知〖26字〗

89、再結合(3'')，由(3')可以推出：〖10字〗

90、口訣是：〖3字〗

91、茶壺一開始出湯時在擺成品字型的三個杯子快速輪換，稱之為“關公巡城”，既形象，又生動，也道出了這一動作的連貫性。〖48字〗

92、求得滿足：可被3和7整除并且除以5余1的最小正整數(shù)x?=21，從而得到，同樣可被3和7整除但除以5余3的3x?=63；〖53字〗

93、*7=3535÷9余82*35=7070÷9余73*35=105105÷9余64*35=140140÷9余5（滿足）63+270+140=473由于473正好在范圍內,這隊兵有374人〖78字〗

94、設m?,m?,...,m_n是兩兩互素的正整數(shù)，那么對于任意整數(shù)a?,a?,...,a_n組成的一次同余方程組：〖40字〗

95、最后，需要說明的是：〖8字〗

96、這樣歸納的證明了(7)成立。〖11字〗

97、*9=4545÷7余32*45=9090÷7余63*45=135135÷7余24*45=180180÷7余55*45=225225÷7余16*45=270270÷7余4（滿足）〖74字〗