2、研究數(shù)特別是研究整數(shù)的可除性（也就是數(shù)論），是數(shù)學(xué)非常大的一個(gè)分支。數(shù)論被高斯稱為數(shù)學(xué)的皇冠，內(nèi)容之豐富超過(guò)所有人的想象。很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)家都是靠研究數(shù)論出名，這里面包括北大畢業(yè)的張益唐。有點(diǎn)不可思議的是，數(shù)論的研究非常深?yuàn)W。素?cái)?shù)的性質(zhì)隱藏得如此之深，數(shù)學(xué)家花了很多腦力，用了很多外行人想象不到而且可能看都看不懂的工具和方法，才得到他們想得到的結(jié)果。比如張益唐試圖解決困擾數(shù)學(xué)家?guī)装倌甑膶\生素?cái)?shù)問(wèn)題，就用到包括微積分，群論等一系列高深的數(shù)學(xué)工具。〖204字〗

3、從后來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展來(lái)看，數(shù)的研究非常深?yuàn)W，也有很多工作去做，比如歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家高斯，最主要的成就就是研究素?cái)?shù)（一類不可被其他整數(shù)整除的整數(shù)）。高斯得到的結(jié)果和研究的手法及內(nèi)容如此的深?yuàn)W，直到今天，也只有少數(shù)人能真正理解高斯的思想。一個(gè)不是數(shù)學(xué)本科以上的畢業(yè)生，基本都無(wú)法搞懂高斯的工作，可見(jiàn)其研究的深入和高難度。既然有那么多內(nèi)容可以研究，為什么古希臘人沒(méi)有花很多功夫去探索呢？或者說(shuō)，古希臘學(xué)者在數(shù)的研究上為什么突破不多？〖196字〗

4、因?yàn)椋绻o自己理發(fā)，那么他就屬于自己給自己理發(fā)的那類人。〖27字〗

5、區(qū)別在于，ZFC下面的separation不是憑空產(chǎn)生的，而依賴于原有的集合。在粗鄙的情況下，會(huì)產(chǎn)生羅素悖論。令就可以得到，然后問(wèn)這個(gè)集合是否屬于自身，便得到悖論。但是在ZFC中，即便沒(méi)有foundation，也不會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，因?yàn)楦揪蜎](méi)有這樣的寫(xiě)法，只有這樣的寫(xiě)法，而就算是沒(méi)有foundation，我們光從也得不到矛盾。將這個(gè)集合記作B，只有在并且的情況下才會(huì)有問(wèn)題。那么我們只需要選擇并且就能避免矛盾了。當(dāng)然，另一條線依舊是不能選擇的：假設(shè)，那么我們就得到并且，而這一邊依舊是一個(gè)矛盾。但是沒(méi)關(guān)系，另一邊已經(jīng)不再封閉了。于是，在ZFC里面，羅素悖論的形式幫助我們看清了這一點(diǎn)：對(duì)于任何一個(gè)集合A，總存在一個(gè)集合B，使得B不在A里面。換而言之，不存在所有集合的集合。〖305字〗

6、幾何從開(kāi)始的時(shí)候來(lái)說(shuō)，是研究圖形的性質(zhì)。數(shù)學(xué)是怎么在圖形性質(zhì)的研究上得到突破性發(fā)展呢？最最關(guān)鍵的也許是數(shù)學(xué)邏輯鏈條的建立。〖57字〗

7、數(shù)學(xué)最古老的內(nèi)容就算幾何了。非常奇怪的是，畢達(dá)哥拉斯把數(shù)抽象出來(lái)后，研究數(shù)學(xué)并沒(méi)有從研究數(shù)去展開(kāi)，而是開(kāi)始從自然界的圖形入手，建立了一個(gè)數(shù)學(xué)史上第一個(gè)嚴(yán)密的體系，也就是幾何體系。〖82字〗

8、《幾何原本》的作者是歐幾里得。很可惜，我們對(duì)歐幾里得的生平幾乎一無(wú)所知。他應(yīng)該是柏拉圖的學(xué)生，或者至少在柏拉圖開(kāi)辦的學(xué)院中學(xué)習(xí)過(guò)。他活躍的年代應(yīng)該是亞歷山大時(shí)代，公元前300左右，也就距離現(xiàn)在有2000多年。原版的《幾何原本》全部都不存在了，現(xiàn)在流傳的版本都是通過(guò)后來(lái)的手抄本才得以存在。有一點(diǎn)口口相傳的味道。〖140字〗

9、這是ZFC版本下的separation：〖19字〗

10、任何邏輯鏈條都有一個(gè)起點(diǎn)，數(shù)學(xué)的起點(diǎn)就是建立一系列的公理。數(shù)的公理還比較難建立，不過(guò)幾何的公理被古希臘人建立起來(lái)了。展現(xiàn)在我們現(xiàn)代人面前的就是這部影響人類幾千年，有統(tǒng)計(jì)說(shuō)印刷量最大（甚至超過(guò)了圣經(jīng)，也有的統(tǒng)計(jì)說(shuō)圣經(jīng)印刷量最大，幾何原本第二）的數(shù)學(xué)巨作：《幾何原本》。〖120字〗

11、但是，招牌上說(shuō)明他不給這類人理發(fā)，因此他不能自己理。〖23字〗

12、然爾人們只知道羅素悖論是違反了矛盾律，卻不知道，這個(gè)悖論首先是違反了同一律，才會(huì)導(dǎo)致悖論，如果不違反同一律，則沒(méi)有任何悖論可言。〖58字〗

13、理論上，公設(shè)就是公理，都是開(kāi)始數(shù)學(xué)研究所必須遵循的約定。那為什么歐幾里得要把公設(shè)和公理分開(kāi)呢？有各種解釋，大家認(rèn)可的解釋是歐幾里得想專門(mén)針對(duì)幾何給出幾條公理，這些就是公設(shè)了。這也不能完美解釋公設(shè)與公理的區(qū)別，因?yàn)榧热弧稁缀卧尽烽_(kāi)始是研究幾何的，你可以全部把公設(shè)說(shuō)成公理啊（我們后人基本也是這樣做的，所以后來(lái)的數(shù)學(xué)體系中公設(shè)就沒(méi)有了），沒(méi)必要區(qū)分。偉崗認(rèn)為關(guān)鍵問(wèn)題出在第五公設(shè)上，由于有第五公設(shè)的存在，歐幾里得才把公設(shè)和公理分開(kāi)，這樣大家可以有機(jī)會(huì)質(zhì)疑公設(shè)的合法性，但是公理就是肯定成立了。〖224字〗

14、平行公設(shè)說(shuō)的是過(guò)直線外一點(diǎn)能夠存在多少條直線的平行線問(wèn)題。在《幾何原本》中，歐幾里得說(shuō)存在且只存在一條平行線。〖50字〗

15、最終否定這個(gè)公設(shè)成了正確的選擇。這個(gè)決定做出得非常艱難。羅巴切夫斯基算是一個(gè)比較成功的挑戰(zhàn)者，不過(guò)他的理論在他生前也沒(méi)有得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。真正理解這個(gè)公設(shè)含義的是偉大的數(shù)學(xué)家高斯，不過(guò)高斯生前并沒(méi)有發(fā)表他這方面的想法。刺破這個(gè)大難題的應(yīng)該是黎曼，他的微分幾何真正意義上決定了第五公設(shè)的徹底破產(chǎn)。同時(shí)黎曼的偉大還在于，他開(kāi)拓了一個(gè)嶄新研究幾何的領(lǐng)域。黎曼思維下的幾何，作圖已經(jīng)不重要。那些相似，全等等等的幾何特性，在黎曼幾何下已經(jīng)不再研究，黎曼更多地是用微積分的手段探索世界的幾何性質(zhì)，這一點(diǎn)古希臘學(xué)者是不可能想到的。今天就聊到這里，下一篇再來(lái)詳細(xì)聊聊《幾何原本》〖261字〗

16、

17、在形式邏輯中，同一律，矛盾律，排中律是形式邏輯的三大基本規(guī)律，羅素悖論違反了矛盾律而又得不到解決，所以對(duì)形式邏輯造成了巨大的沖擊，被稱為是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。〖70字〗

18、《幾何原本》中的五大公設(shè)又是一個(gè)大坑。最出名的自然是第五大公設(shè)：平行公設(shè)。前面四大公設(shè)沒(méi)什么特別，都是關(guān)于點(diǎn)，圓，線的作圖：1.兩點(diǎn)可以做一條直線，2.直線可以延長(zhǎng)，3.任意點(diǎn)加一個(gè)長(zhǎng)度可以畫(huà)個(gè)圓，4.所有直角都是相等的。這四大公設(shè)一看也是顯然成立的。〖108字〗

19、這是粗鄙的separation：〖15字〗

20、這是一個(gè)著名的悖論，稱為“羅素悖論”。這是由英國(guó)哲學(xué)家羅素提出來(lái)的，他把關(guān)于集合論的一個(gè)著名悖論用故事通俗地表述出來(lái)。〖53字〗

21、這個(gè)公設(shè)似乎不是一看就是成立的，后來(lái)的很多數(shù)學(xué)家耗盡了一生的心血，企圖證明這個(gè)公設(shè)。全部被打臉。可以說(shuō)，這條公設(shè)是古希臘人給后續(xù)數(shù)學(xué)家提供的一個(gè)燈塔，很多人為此走了非常大的彎路，白白浪費(fèi)了一生的精力。〖92字〗

22、羅素悖論之所以稱為是悖論，是因?yàn)樗`反了形式邏輯中的矛盾律：矛盾律又稱不矛盾律。它通常被表述為A不是非A，或A不能既是B又不是B。要求在同一思維過(guò)程中，對(duì)同一對(duì)象不能同時(shí)作出兩個(gè)矛盾的判斷，即不能既肯定它，又否定它。在傳統(tǒng)邏輯里，矛盾律首先是作為事物規(guī)律提出來(lái)的，意為任一事物不能同時(shí)既具有某屬性又不具有某屬性。它作為思維規(guī)律，則是任一命題不能既真又不真。在羅素悖論中，羅素集R既屬于自身又不屬于自身，便是違反了矛盾律。〖193字〗

23、《幾何原本》開(kāi)篇是五大公理和五大公設(shè)。從這一點(diǎn)起，古希臘人真正開(kāi)始搭建完美的數(shù)學(xué)大廈。五個(gè)公理對(duì)我們普通人來(lái)說(shuō)，簡(jiǎn)直就是不用想也應(yīng)該是對(duì)的。第一就是等于同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量減等量其差相等。第四是彼此能重合的物體是全等的。第五是整體大于局部。〖125字〗

24、公理不需要證明，甚至無(wú)法證明，里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)容也非常深刻。不過(guò)要認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，要到后來(lái)1900年左右的希爾伯特深邃的思維。數(shù)學(xué)從哪里出發(fā)，這樣的出發(fā)點(diǎn)有沒(méi)有問(wèn)題只是到了近代，數(shù)學(xué)家才認(rèn)識(shí)到其重要性。如果再深入思考一點(diǎn)，公理對(duì)任何科學(xué)都是必須的嗎？不要以為這是個(gè)腦殘的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題其實(shí)是一個(gè)非常大的挑戰(zhàn)。它甚至關(guān)系到科學(xué)發(fā)展的命運(yùn)。特別是后來(lái)出現(xiàn)了很多悖論（比如集合論中的羅素悖論）。這些悖論的造成是公理的錯(cuò)，還是我們邏輯思維和方法的錯(cuò)？至今也沒(méi)有很好的答案。〖212字〗

25、羅素悖論由英國(guó)哲學(xué)家羅素針對(duì)集合論所提出來(lái)的一條邏輯悖論，描述為：某些集合是以自身做為元素的，例如所有概念的集合F，其集合自身F也是一個(gè)概念，所以該集合F是自身中的一個(gè)元素；某些集合是不以自身做為元素的，例如所有蘋(píng)果的集合G，其集合自身不是蘋(píng)果，所以該集合G不是自身中的一個(gè)元素。由此可知，任何一個(gè)集合，要么就是屬于自身的，要么就是不屬于自身的。現(xiàn)構(gòu)造出一個(gè)集合R，R以所有自身不屬于自身的集合作為元素，問(wèn)：R是屬于自身的？還是不屬于自身的？如果R是屬于自身的，則根據(jù)R的定義，R不能做為R中的元素，所以R是不屬于自身的；而如果R是不屬于自身的，則根據(jù)R的定義，R一定是R中的元素，則R是屬于自身的，由此構(gòu)成悖論。〖279字〗

26、如果是一個(gè)集合，并且是一個(gè)描述，那么我們可以把那些屬于并且滿足描述的個(gè)體搜集在一起構(gòu)成一個(gè)集合。〖45字〗

27、如果由另外一個(gè)人給他理發(fā)，他就是不給自己理發(fā)的人。但是，招牌上明明說(shuō)他要給所有不自己理發(fā)的男人理發(fā)，因此，他應(yīng)該自己理。由此可見(jiàn)，不管作怎樣的推論，理發(fā)師所說(shuō)的話總是自相矛盾的。〖80字〗

28、如果是一個(gè)描述，那么我們可以把那些滿足描述的個(gè)體搜集在一起構(gòu)成一個(gè)集合。〖34字〗

29、原因是多方面的，最大的原因應(yīng)該是，研究數(shù)的性質(zhì)脫離了當(dāng)時(shí)人們的認(rèn)知。也就是說(shuō)，數(shù)剛剛被畢達(dá)哥拉斯抽象出來(lái)，怎么記錄怎么演算還需要不斷挖掘。面對(duì)一堆整數(shù)，古希臘學(xué)者應(yīng)該是滿頭霧水，不知道研究數(shù)的哪方面性質(zhì)，更沒(méi)有好的研究工具。到了高斯那個(gè)年代就不同，前面有費(fèi)馬的鋪墊工作，探索數(shù)的同余性可以得出非常深刻的數(shù)學(xué)知識(shí)，比如，數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)的模式等，這一些也只有高斯這樣的天才才想得到。〖172字〗

30、一天，薩維爾村理發(fā)師掛出了一塊招牌：“村里所有不自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā)，我也只給這些人理發(fā)。”于是有人問(wèn)他：“您的頭發(fā)由誰(shuí)理呢?”理發(fā)師頓時(shí)啞口無(wú)言。〖68字〗